11 de enero de 2023

Una fórmula para tiburones: las ecuaciones que comparten ecólogos y economistas

Del 5 al 27 de Julio de 2022. High seas, North Atlantic Los tiburones son una de las especies más amenazadas del mundo, con 17 especies en peligro de extinción como el tiburón marrajo. Estos animales son fundamentales dentro de la red trófica marina y su papel como gran depredador es especialmente importante para mantener la salud de las comunidades marinas. Al desaparecer los grandes tiburones, a menudo se dan cambios tróficos imprevistos, lo que crea unos ecosistemas más desequilibrados con depredadores menores sin control. Los tiburones tienen unas características biológicas que los hacen más vulnerables con una camada de 4 a 16 crías después de un período de gestación de 15 a 18 meses y con un ciclo de desove cada 3 años.  ©Greenpeace/Pedro Armestre ©Greenpeace Handout/Pedro Armestre- No sales - No Archives - Editorial Use Only - Free use only for 14 days after release. Photo provided by GREENPEACE, distributed handout photo to be used only to illustrate news reporting or commentary on the facts or events depicted in this image.

ALBA GARCÍA RUÍZ/ENRIQUE GARCÍA SÁNCHEZ
EL PAÍS

En todos los ecosistemas los seres vivos se relacionan de formas similares. Ya se trate de un desierto o una charca, siempre podemos encontrar especies que mantienen vínculos de competencia, simbiosis, parasitismo, depredación… Estas interacciones se pueden simular con sistemas de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones describen el comportamiento esperado a lo largo del tiempo. Un ejemplo de estos modelos biológicos es el propuesto por el biofísico Alfred J. Lotka y el matemático Vito Volterra —de manera independiente— en la década de 1920, que es capaz de describir las relaciones entre depredadores y presas.

El llamado modelo de Lotka-Volterra se usó por primera vez para responder a una cuestión planteada por el biólogo marino Umberto d’Ancona. Este había observado que, durante la Primera Guerra Mundial, los pescadores del mar Adriático capturaban un porcentaje mayor de lo habitual de tiburones, rayas y otros grandes depredadores. D’Ancona achacó esta anomalía a la disminución de la actividad pesquera causada por la guerra. Sin embargo, resultaba extraño que esta reducción no beneficiase más a las especies medianas, más consumidas por el ser humano. Intrigado, consultó el problema con Volterra. El matemático quiso describir, mediante un par de ecuaciones, cómo este cambio afectaba al número promedio de presas y depredadores.

Para ello, ideó un sistema de dos ecuaciones que refleja la interconexión entre las dos especies, cuyas incógnitas son el número de presas —por ejemplo, peces de tamaño mediano—, representado por la variable x, y de depredadores —tiburones—, representado por y. Las ecuaciones incluyen cuatro parámetros fijos: A, que representa la tasa de reproducción de las presas; B, que se relaciona con la probabilidad de que una presa sea cazada; C, la tasa de mortalidad de los predadores; y D, relacionada con la proporción de capturas necesarias para la reproducción de los depredadores. Las ecuaciones establecen los valores de las derivadas x’ e y’, que representan la variación de las poblaciones en el tiempo, respecto a las variables y parámetros anteriores.

La primera ecuación indica que la variación del número de presas, partiendo de una población de presas de x individuos y de depredadores de y, es igual a Ax, la cantidad de presas que nacen, menos Bxy, que representa el número de presas capturadas en la caza. Por otro lado, la segunda ecuación establece que la variación de los depredadores es Dxy, los depredadores que nacen gracias al alimento conseguido, menos Cy, los depredadores fallecidos.

Ecuación para calcular la variación del número de presas y la del número de deprededadores.
Ecuación para calcular la variación del número de presas y la del número de deprededadores.

En este modelo, cuando no existen depredadores, las presas se reproducen a un ritmo exponencial, sin límite. Por otro lado, la ausencia de presas lleva a que los depredadores se extingan y, cuantos más individuos tengan que competir por el escaso alimento disponible, más rápido decrecerá la población.

En cualquier otro caso, las ecuaciones establecen que, a lo largo del tiempo, ambas poblaciones fluctúan periódicamente en torno a unos valores promedio, dados por C/D para las presas y por A/B para los depredadores —en la imagen, señalados con líneas discontinuas—. Si se introduce la actividad pesquera en las ecuaciones con un nuevo parámetro E, se obtiene un efecto equivalente a reducir la tasa de natalidad de las presas —cambiando A por A-E— y a aumentar la tasa de mortalidad de los depredadores —pasando de C a C+E—. De esta forma, un descenso de la actividad pesquera, es decir, de E, se traduce en un crecimiento del número medio de depredadores —(A-E)/B— y una reducción del de las presas —(C+E)/D—, que es justo lo que observó d’Ancona.

La utilidad del modelo presa-depredador no se limita a la ecología. En 1967, el economista Richard M. Goodwin empleó estas ecuaciones para explicar las fluctuaciones económicas como una consecuencia de los desajustes entre mano de obra y salarios. Concretamente, planteó que la tasa de empleo y el coste de los salarios son variables que evolucionan cíclicamente, de forma similar al número de presas y depredadores. La propuesta de Goodwin para describir el mercado laboral introdujo una nueva idea en economía teórica: su modelo matemático daba una interpretación de los ciclos propios del capitalismo a través de causas endógenas al sistema, sin necesidad de recurrir a shocks externos.

Goodwin usó estas ecuaciones para explicar las variaciones económicas como consecuencia de los desajustes entre mano de obra y salarios.
Goodwin usó estas ecuaciones para explicar las variaciones económicas como consecuencia de los desajustes entre mano de obra y salarios.

Pese a su simplicidad, las ecuaciones de Lotka-Volterra sirven para modelizar diversos sistemas complejos y, hoy en día, siguen aplicándose en numerosos casos. Además, en los últimos años se han introducido diversas variaciones con el fin de simular situaciones más complejas, como por ejemplo interacciones entre un mayor número de especies, fenómenos de canibalismo entre los depredadores o estrategias defensivas de las presas. El sistema de Lotka-Volterra fue uno de los primeros en la historia de la modelización matemática, un camino de éxito que han seguido muchos de los modelos utilizados hoy en día en ramas aparentemente tan alejadas como la meteorología o la epidemiología.

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